Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+2sin²（$\frac{ωx+φ}{2}$）-1（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，且相鄰兩對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）當(dāng)$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]$時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當(dāng)$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{6}]$時，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）由題意可得：函數(shù)f（x）=f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+2sin²（$\frac{ωx+φ}{2}$）-1
=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）（ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，
∴φ-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∵相鄰兩對稱軸間的距離為$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，f（x）=2sin2x．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
結(jié)合$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{4}]$，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$]．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，可得y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
當(dāng)$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{6}]$時，4x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$ $\frac{π}{3}$]，此時，sin（4x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，求函數(shù)g（x）∈[-2，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．