Question

如圖1-7-9所示,從地面垂直發(fā)射質(zhì)量為m的物體,計(jì)算物體從A點(diǎn)飛到B點(diǎn)的過程中,地球引力所做的功.若要物體飛離地球引力的范圍,物體的初速度v₀應(yīng)為多少?

圖1-7-9

Answer 1

思路分析:根據(jù)萬有引力定律求出物體在發(fā)射飛行過程中所受引力的表達(dá)式,然后對(duì)引力進(jìn)行積分.

解:由萬有引力定律,得地球?qū)ξ矬w的引力為F=K·.

其中r為地心到物體的距離,M為地球的質(zhì)量,m為物體的質(zhì)量,K為引力常數(shù).

如果物體在地面上,R為地球的半徑,這時(shí)有mg=K·,

∴K=.

故F=mg·()².

因?yàn)榈厍驅(qū)ξ矬w的引力F是隨距離r而改變的,所以物體從點(diǎn)A(r=R₁)飛到點(diǎn)B(r=R₂)時(shí),地球引力對(duì)物體所做的功為

W=-=mgR²().

“-”表示物體所受的引力與物體飛出的方向相反,引力作負(fù)功.

利用這個(gè)關(guān)系就可以計(jì)算出物體從地面飛出地球引力范圍時(shí),地球引力對(duì)物體所做的功

=-mgR,因此物體要脫離地球引力的范圍,必須克服地球引力,也就是說在發(fā)射物體時(shí),給予物體的動(dòng)能至少等于地球引力所做的功,

即mv₀²=mgR.

∴v₀=.以g=9.18 m/s²,R≈6.31×10⁶ m代入,

得v₀≈11.2(km/s).

故v₀=11.2 km/s就是物體從地面飛離地球引力范圍所必須具有的最小初速度,通常稱為第二宇宙速度.