【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,,平面平面,點為棱的中點.
(Ⅰ)在棱上是否存在一點,使得平面,并說明理由;
(Ⅱ)當二面角的余弦值為時,求直線與平面所成的角.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(Ⅰ)取的中點,連結、,得到故且,進而得到,利用線面平行的判定定理,即可證得平面.
(Ⅱ)以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系,設,求得平面的法向量為,和平面的法向量,利用向量的夾角公式,求得,進而得到為直線與平面所成的角,即可求解.
(Ⅰ)在棱上存在點,使得平面,點為棱的中點.
理由如下:取的中點,連結、,由題意,且,
且,故且.所以,四邊形為平行四邊形.
所以,,又平面,平面,所以,平面.
(Ⅱ)由題意知為正三角形,所以,亦即,
又,所以,且平面平面,平面平面,
所以平面,故以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系,
設,則由題意知,,,,
,,
設平面的法向量為,
則由得,令,則,,
所以取,顯然可取平面的法向量,
由題意:,所以.
由于平面,所以在平面內的射影為,
所以為直線與平面所成的角,
易知在中,,從而,
所以直線與平面所成的角為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明
(1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)在(-1,1)上單調遞減
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【題目】袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標號分別為1,2,3;藍色卡片兩張,標號分別為1,2.
(Ⅰ)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)袋中再放入一張標號為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率.
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【題目】關于利用斜二側法得到的直觀圖有下列結論:①三角形的直觀圖是三角形;②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;③正方形的直觀圖是正方形;④菱形的直觀圖是菱形,以上結論正確的是( )
A. ①② B. ① C. ③④ D. ①②③④
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【題目】《九章算術》中有一分鹿問題:“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士,凡五人,共獵得五鹿.欲以爵次分之,問各得幾何.”在這個問題中,大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個不同爵次的官員,現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成3組派去三地執(zhí)行公務(每地至少去1人),則不同的方案有( )種.
A.150B.180C.240D.300
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【題目】設某大學的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關關系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結論中不正確的是
A. y與x具有正的線性相關關系
B. 回歸直線過樣本點的中心(,)
C. 若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg
D. 若該大學某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg
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【題目】對于函數(shù)y=f(x),若在其定義域內存在x0,使得x0f(x0)=1成立,則稱函數(shù)f(x)具有性質M.
(1)下列函數(shù)中具有性質M的有____
①f(x)=﹣x+2
②f(x)=sinx(x∈[0,2π])
③f(x)=x,(x∈(0,+∞))
④f(x)
(2)若函數(shù)f(x)=a(|x﹣2|﹣1)(x∈[﹣1,+∞))具有性質M,則實數(shù)a的取值范圍是____.
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【題目】2018年中秋季到來之際,某超市為了解中秋節(jié)期間月餅的銷售量,對其所在銷售范圍內的1000名消費者在中秋節(jié)期間的月餅購買量(單位:)進行了問卷調查,得到如下頻率分布直方圖:
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)已知該超市所在銷售范圍內有20萬人,并且該超市每年的銷售份額約占該市場總量的,請根據(jù)人均月餅購買量估計該超市應準備多少噸月餅恰好能滿足市場需求?
(3)由頻率分布直方圖可以認為,該銷售范圍內消費者的月餅購買量服從正態(tài)分布,其中樣本平均數(shù)作為的估計值,樣本標準差作為的估計值,設表示從該銷售范圍內的消費者中隨機抽取10名,其月餅購買量位于的人數(shù),求的數(shù)學期望.
附:經(jīng)計算得,若隨機變量服從正態(tài)分布,則,.
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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關的手機應用軟件層出不窮.現(xiàn)從使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取50個商家,對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下:
(1)試估計使用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).
(2)根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù),將頻率視為概率,回答下列問題:
①能否認為使用B款訂餐軟件“平均送達時間”不超過40分的商家達到75%?
②如果你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?說明理由.
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