Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（π+ωx），2cosωx），$\overrightarrow$=（2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+ωx），cosωx），（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，其圖象上相鄰的兩個最低點之間的距離為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的對稱中心；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，利用向量的運算求出函數(shù)f（x）的關(guān)系式，圖象上相鄰的兩個最低點之間的距離為π．可得周期T=π，求出ω，即可求函數(shù)f（x）的對稱中心．
（Ⅱ）根據(jù)tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$化簡可得：tanB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{cosB}$，求出B，利用三角函數(shù)的有界限求出f（A）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意，向量$\overrightarrow{a}$=（sin（π+ωx），2cosωx），$\overrightarrow$=（2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+ωx），cosωx），（ω＞0），
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=sin（π+ωx）•（2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+ωx）+2cosωx•cosωx=2cos²ωx-$2\sqrt{3}$sinωx•cosωx
=1+cos2ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx=2cos（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1，
∵圖象上相鄰的兩個最低點之間的距離為π．
∴周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1，
可得f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
令2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，
函數(shù)f（x）的對稱中心為（$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，1），k∈Z；
（Ⅱ）∵tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}$，
由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$化簡可得：tanB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{cosB}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是銳角三角形，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
那么：f（A）=2cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1，
則2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$）．
故得f（A）的取值范圍是[-1，2）．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及余弦定理的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．