Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥BD．
（1）證明：PD=PB；
（2）若PD⊥PB，∠DAB=60°，PA=AD，求二面角B-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)PO，推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥PA，從而B(niǎo)D⊥平面PAC，進(jìn)而B(niǎo)D⊥PO，由BO=DO，能證明PD=PB．
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PA-D的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)PO，
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，且O為BD與AC的中點(diǎn)，
又∵BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，
∵PO?平面PAC，∴BD⊥PO，又BO=DO，
∴PD=PB．
解：（2）∵PD=PB，且O是BD中點(diǎn)，∴BO=DO，
又∵PA=AD，∴△AOD≌△AOP，∴PO⊥OA，
從而OA，OB，OP兩兩互相垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵∠DAB=60°，∴△CBB₁為等邊三角形，又PA=AD，
則P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），A（1，0，0），D（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
$\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAB的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x-\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
設(shè)平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=a-\frac{\sqrt{3}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=-a-\frac{\sqrt{3}}{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角B-PA-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=$\frac{1}{7}$，
∴二面角B-PA-D的余弦值為$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段相等的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．