Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x∈R）．

（1）證明：當a＞3時，f（x）在R上是減函數(shù)；

（2）若函數(shù)f（x）存在兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，由分段函數(shù)的解析式依次分析f（x）的兩段函數(shù)的單調性以及最值，結合函數(shù)單調性的定義分析可得答案；

（2）根據(jù)題意，函數(shù)的解析式變形可得f（x）=3|x-1|-a，分析可得若函數(shù)f（x）存在兩個零點，即函數(shù)f（x）=3|x-1|與函數(shù)y=ax有2個不同的交點，結合函數(shù)y=3|x-1|的圖象分析可得答案．

（1）證明：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）= ，

若a＞3，則當x≥1時，f（x）=（3-a）x-3，有（3-a）＜0，

此時f（x）為減函數(shù)，且f（x）≤f（1）=-a，

當x＜1時，f（x）=-（3+a）x+3，有-（3+a）＜0，

此時f（x）為減函數(shù)，且f（x）＞f（1）=-a，

故當a＞3時，f（x）為減函數(shù)；

（2）根據(jù)題意，f（x）= =3|x-1|-a，

若函數(shù)f（x）存在兩個零點，

即函數(shù)f（x）=3|x-1|與函數(shù)y=ax有2個不同的交點，

則有0＜a＜3，

即a的取值范圍為（0，3）