Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$與雙曲線$\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{8}=1$有共同的焦點F₁，F₂，兩曲線的一個交點為P，則$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值為8．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ 的焦點F₁（-3，0），F₂（3，0），則根據雙曲線的方程得m+8=3²，解得m=1；利用向量坐標乘法公式即可求出結果．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$ 的焦點F₁（-3，0），F₂（3，0），則根據雙曲線的方程得m+8=3²，解得m=1；
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$  解得P（±$\frac{5}{3}$，±$\frac{8\sqrt{2}}{3}$），
所以，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-3-$\frac{5}{3}$，-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$）•（3-$\frac{5}{3}$，-$\frac{8\sqrt{2}}{3}$）=8；
故答案為：8

點評 本題主要考查了橢圓與雙曲線基本參數關系，以及向量坐標公式等知識點，屬基礎題．