Question

17．設(shè)f（x）定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意m，n有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
（1）求證：f（0）=1，且當(dāng)x＜0時(shí)，有f（x）＞1
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）令m=1，n=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再結(jié)合當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．得出f（0）=1
（2）設(shè)x₁＞x₂，由已知得出f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂ ）•f（x₂），且能得出0＜f（x₁-x₂）＜1，確定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．

解答 解：（1）證明：令m=1，n=0則f（1）=f（1）•f（0）又0＜f（1）＜1∴f（0）=1
取m＜0，n=-m，代入恒等式得f（m）•f（-m）=f（0）=1，
又x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，所以有0＜f（-m）＜1
由上f（m）•f（-m）=1，∴$f（m）=\frac{1}{f（-m）}＞1$，即當(dāng)x＜0時(shí)有f（x）＞1，
所以有x＜0時(shí)，f（x）＜1
（2）函數(shù)為減函數(shù)，
理由如下：設(shè)x₂＞x₁則x₂-x₁＞0，∵當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）＜f（x₁）
∴函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)
所以，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法