Question

（2009•濱州一模）設(shè)函數(shù)f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=x²，
（I）若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)（1，0），求實(shí)數(shù)p的值；
（II）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，求出它們導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．
（II）f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則說明導(dǎo)數(shù)f'（x）＞0，或f'（x）＜0，恒成立．

解答：解：（Ⅰ）方法一：∵f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

，∴f'（1）=2p-2．
設(shè)直線，并設(shè)l與g（x）=x²相切于點(diǎn)M（x₀，y₀）
∵g'（x）=2x，∴2x₀=2p-2，解得
∴x0=p-1，y0=(p-1)2，
代入直線l方程解得p=1或p=3．
方法二：將直線方程l代入y=x²得2（p-1）（x-1）=0，
∴△=4（p-1）²-8（p-1）=0，
解得p=1或p=3．
（Ⅱ）∵f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．．
①要使f（x）為單調(diào)增函數(shù)，f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即px²-2x+p≥0在（0，+∞）恒成立，即p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）恒成立，
又

2

x+ 1 x

≤1，所以當(dāng)p≥1，此時f（x）在（0，+∞）為單調(diào)增函數(shù)；   
②要使f（x）為單調(diào)減函數(shù)，須f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，即p≤

2x

x2+1

，（0，+∞）恒成立，又

2x

x2+1

≥0，所以p≤0．當(dāng)p≤0時，f（x）在（0，+∞）為單調(diào)減函數(shù)．
綜上，若f（x）在（0，+∞）為單調(diào)函數(shù)，則p的取值范圍為p≥1或p≤0．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要正確理解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．當(dāng)函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增時，得f'（x）≥0，不能漏掉等號．