Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{6}$x²+ax+sinx（x∈（0，$\frac{π}{2}$）），在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{π}{6}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{π}{2}$]
• C． （-∞，0]
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上恒成立，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值，求解即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{3}x+a+cosx$，（x∈（0，$\frac{π}{2}$）），
依題意f'（x）≥0 在x∈（0，$\frac{π}{2}$），時恒成立，
即$\frac{1}{3}x+a+cosx$≥0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立．
則a≥$-\frac{1}{3}x-cosx$在x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，
即a≥[$-\frac{1}{3}x-cosx$]_max，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
令g（x）=$-\frac{1}{3}x-cosx$，
可得g′（x）=-$\frac{1}{3}$+sinx，sinx∈（0，$\frac{1}{3}$）函數(shù)是減函數(shù)，sinx∈（$\frac{1}{3}，1$）
函數(shù)是增函數(shù)，因為cosx=1時，g（x）=-1，cosx=0時，g（x）=-$\frac{π}{6}$．
∴a的取值范圍是[-$\frac{π}{6}$，+∞）．
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．