Question

設(shè) 函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a≠0，b∈R），若f（-1）=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知條件便得，

f(-1)=a-b+1 b2-4a≤0

，所以便可得到（a-1）²≤0，所以只有（a-1）²=0，這樣便求出a=1，b=2；
（2）先求出g（x）=x²+（2-k）x+1，該函數(shù)為二次函數(shù)，在對(duì)稱軸一邊有單調(diào)性，所以求出該函數(shù)對(duì)稱軸為x=

k-2

2

，所以便有

k-2

2

≥2，或

k-2

2

≤-2，解不等式即得k的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（-1）=0得，a-b+1=0，∴b=a+1    ①；
∵對(duì)任意x∈R不等式f（x）≥0恒成立；
∴△=b²-4a≤0      ②；
①帶入②得，（a-1）²≤0；
∴a=1，b=2；
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1；
該函數(shù)對(duì)稱軸為：x=

k-2

2

；
又g（x）在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)；
∴

k-2

2

≥2，或

k-2

2

≤-2；
∴k≥6，或k≤-2；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查一元二次不等式的解為R時(shí)判別式△的取值情況，以及二次函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱軸的關(guān)系．