(2009•湖北模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b•2x(a≠0),若{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠φ,請你寫出滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)f(x)的例子,如函數(shù)f(x)=
f(x)=x2+x(只要0<a<4且b=0即可)
f(x)=x2+x(只要0<a<4且b=0即可)
分析:分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),先由{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠∅,得到x2+ax+b•2x=(x2+ax+b•2x22+a(x2+ax+b•2x)+b•2(x2+ax+b•2x)必有實(shí)數(shù)解,當(dāng)x=0時(shí),b=b2+ab+b•2b,b=0滿足條件.然后進(jìn)行化簡,得到x2+ax=(x2+ax)2+a(x2+ax),當(dāng)a=1時(shí),(x2+x)2=0,x=0.由此得到滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)f(x)的例子f(x)=x2+x.
解答:解:∵函數(shù)f(x)=x2+ax+b•2x(a≠0),
{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠∅,
∴x2+ax+b•2x=(x2+ax+b•2x22+a(x2+ax+b•2x)+b•2(x2+ax+b•2x)必有實(shí)數(shù)解,
當(dāng)x=0時(shí),b=b2+ab+b•2b
b=0滿足條件.
把b=0代入x2+ax+b•2x=(x2+ax+b•2x22+a(x2+ax+b•2x)+b•2(x2+ax+b•2x),
得x2+ax=(x2+ax)2+a(x2+ax),
當(dāng)a=1時(shí),(x2+x)2=0,x=0.
綜上所述,當(dāng)a=1,b=0,f(x)=x2+x時(shí),{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠φ.
故答案為:f(x)=x2+x.
(答案不唯一,(只要0<a<4且b=0即可).
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的解析式的求法和常規(guī)解法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意物特殊值的靈活運(yùn)用.
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(2009•湖北模擬)半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn),其中點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
2
,B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
3
,則球心到平面ABC的距離為( 。

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(2009•湖北模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=
1
2
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an-2n(n為偶數(shù))
且bn=a2n-2(n∈N*
(1)求a2,a3,a4
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(3)若Cn=-nbn,Sn為為數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和,求Sn-2.

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(2009•湖北模擬)已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對于x∈R都有f(x-6)=f(x)+f(3)成立,且f(0)=-2,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0.則給出下列命題:
①f(2010)=-2;
②函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸為x=-6;
③函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為增函數(shù);
④方程f(x)=0在[-9,9]上有4個(gè)根.
其中正確命題的序號是
①②④
①②④
.(請將你認(rèn)為是真命題的序號都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•湖北模擬)若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但定義域不同,則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”,例如解析式為y=2x2+1,值域?yàn)閧9}的“孿生函數(shù)”三個(gè):
(1)y=2x2+1,x∈{-2};(2)y=2x2+1,x∈{2};(3)y=2x2+1,x∈{-2,2}.
那么函數(shù)解析式為y=2x2+1,值域?yàn)閧1,5}的“孿生函數(shù)”共有( 。

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