設(shè)無窮數(shù)列的首項,前項和為),且點在直線上(為與無關(guān)的正實數(shù)).
(1)求證:數(shù)列)為等比數(shù)列;
(2)記數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足,設(shè),求數(shù)列的前項和;
(3)(理)若(1)中無窮等比數(shù)列)的各項和存在,記,求函數(shù)的值域.
(1)證明見解析;(2);(3)

試題分析:(1)把已知條件變形為,要化為數(shù)列項的關(guān)系,一般方法是用,兩式相減,得,從而得前后項比為常數(shù),只是還要注意看看是不是有,如有則可證得為等比數(shù)列;(2)由定義可知數(shù)列是等差數(shù)列,(是數(shù)列公差),從而數(shù)列也是等差數(shù)列,其前和易得,這說明我們在求數(shù)列和時,最好能確定這個數(shù)列是什么數(shù)列;(3)首先無窮等比數(shù)列的和存在說明公比滿足,從而得出,無窮等比數(shù)列的和公式得,這是一次分式函數(shù),其值域采用分離分式法,即,易得
試題解析:(1)由已知,有
當(dāng)時,;         2分
當(dāng)時,有,
兩式相減,得,即,
綜上,,故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列;   4分
(2)由(1)知,,則
于是數(shù)列是公差的等差數(shù)列,即,        7分


=        10分
(3)(理)由解得:。         12分
         14分
,當(dāng)時,,函數(shù)的值域為。      16分項和的關(guān)系,等比數(shù)列的定義;(2)等差數(shù)列的前項和;(3)無窮等比數(shù)列的和及一次分式函數(shù)的值域.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

中國人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征,測算顯示中國是世界上人口老齡化速度最快的國家之一,再不實施“放開二胎”新政策,整個社會將會出現(xiàn)一系列的問題.若某地區(qū)2012年人口總數(shù)為45萬,實施“放開二胎”新政策后專家估計人口總數(shù)將發(fā)生如下變化:從2013年開始到2022年每年人口比上年增加萬人,從2023年開始到2032年每年人口為上一年的99%.
(1)求實施新政策后第年的人口總數(shù)的表達式(注:2013年為第一年);
(2)若新政策實施后的2013年到2032年人口平均值超過49萬,則需調(diào)整政策,否則繼續(xù)實施.問到2032年后是否需要調(diào)整政策?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1a2a5>13,且a1,a2a5成等比數(shù)列,則a1的取值范圍為________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a1,a3a4成等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則的值為 (  ).
A.2 B.3C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,對于任意的n∈N,anSn,a成等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且bn,若對任意的實數(shù)x∈(1,e](e是自然對數(shù)的底)和任意正整數(shù)n,總有Tn<r(r∈N).則r的最小值為________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且對任意正整數(shù)n,點(an+1,Sn)在直線3x+2y-3=0上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在實數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,則說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知各項均不相等的等差數(shù)列{an}的前5項和為S5=35,且a1+1,a3+1,a7+1成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項和,問是否存在常數(shù)m,使Tnm,若存在,求m的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知等比數(shù)列{an}中,a1=1,且4a2,2a3,a4成等差數(shù)列,則a2a3a4等于 (  ).
A.1B.4C.14D.15

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

等差數(shù)列的前n項和為,且,則(   )
A.8B.9C.10D.11

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案