Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意的，存在使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）或．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由，得出的解析式，求切線方程，即先求在處的值為切線的斜率，由點(diǎn)斜式求出切線方程即可；（Ⅱ）將題意等價(jià)于在區(qū)間上， 的最大值大于或等于的最大值”利用單調(diào)性可求出在上的最大值，在利用分類討論的思想分為， ， 三種情形，求出其最大值，再進(jìn)行比較即可.

試題解析：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以， ．

又因?yàn)?/span>，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．

（Ⅱ）“對(duì)任意的，存在使得成立”等價(jià)于“在區(qū)間上， 的最大值大于或等于的最大值”．

因?yàn)?/span>，所以在上的最大值為．

令，得或．

① 當(dāng)，即時(shí)，

在上恒成立，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，

的最大值為,

由，得．

② 當(dāng)，即時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ， 為單調(diào)遞減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， 為單調(diào)遞增函數(shù)．

所以的最大值為或,

由，得；由，得．

又因?yàn)?/span>，所以．

③ 當(dāng)，即時(shí)，

在上恒成立， 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

的最大值為，由，得，

又因?yàn)?/span>，所以．

綜上所述，實(shí)數(shù)的值范圍是或．