Question

已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點（1，0）作直線l交E于P、Q兩點，試問在x軸上是否存在一定點M，使為定值？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），由此能導出所求橢圓E的方程．
（Ⅱ）當直線l不與x軸重合時，可設(shè)直線l的方程為：x=ky+，由1，整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0，，假設(shè)存在定點M（m，0），使得為定值．由此入手能夠推導出存在定點，使得對于經(jīng)過（1，0）點的任意一條直線l均有（恒為定值）．
解答：解：（Ⅰ），
∴所求橢圓E的方程為：（5分）
（Ⅱ）當直線l不與x軸重合時，可設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，
把（2）代入（1）整理得：（k²+2）y²+2ky-1=0（3）
∴，（8分）
假設(shè)存在定點M（m，0），使得為定值
=（ky₁+1-m）（ky₂+1-m）+y₁y₂=（k²+1）y₁y₂+k（1-m）（y₁+y₂）+（1-m）²==
當且僅當5-4m=0，即時，（為定值）．這時（12分）
再驗證當直線l的傾斜角α=0時的情形，此時取，，
∴存在定點使得對于經(jīng)過（1，0）點的任意一條直線l均有（恒為定值）．
點評：本題考查橢圓方程的求法和點M的存在性質(zhì)的判斷．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運用橢圓的性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．