Question

2．已知f′（x）為函數f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+（3-a）{x^2}$-7x+5（a＞0）的導函數，當x∈[-2，2]時，|f′（x）|≤7恒成立，則f（x）=x³-7x+5．

Answer 1

分析 由于f′（x）=ax²+2（3-a）x-7，其對稱軸方程為：x=$\frac{-2（3-a）}{2a}$=$\frac{a-3}{a}$，依題意可得到$\left\{\begin{array}{l}{|f′（-2）|≤7}\\{|f′（2）|≤7}\\{|f′（\frac{a-3}{a}）|≤7}\end{array}\right.$，解之即可求得a的值，從而可得f（x）的解析式，

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}+（3-a）{x^2}$-7x+5（a＞0），
∴f′（x）=ax²+2（3-a）x-7，其對稱軸方程為：x=$\frac{-2（3-a）}{2a}$=$\frac{a-3}{a}$，
∵當x∈[-2，2]時，|f′（x）|≤7恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|f′（-2）|≤7}\\{|f′（2）|≤7}\\{|f′（\frac{a-3}{a}）|≤7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{|8a-19|≤7}\\{5≤7}\\{|a+\frac{9}{a}+1|≤7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}≤a≤\frac{13}{4}}\\{a+\frac{9}{a}≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}≤a≤\frac{13}{4}}\\{{（a-3）}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得：a=3．
∴f（x）=x³-7x+5，
故答案為：x³-7x+5．

點評 本題考查函數恒成立問題，依題意，得到$\left\{\begin{array}{l}{|f′（-2）|≤7}\\{|f′（2）|≤7}\\{|f′（\frac{a-3}{a}）|≤7}\end{array}\right.$是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于難題．