Question

14．已知$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=1$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，點C在∠AOB內(nèi)，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$夾角為30°，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，（m，n∈R），則$\frac{n}{m}$的值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 依題意建立直角坐標系，加上點C在∠AOB內(nèi)的限制，可得點C的坐標，在直角三角形中由正切函數(shù)的定義可求解

解答 解：因為$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=1$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，點C在∠AOB內(nèi)，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$夾角為30°，故可建立直角坐標系如圖所示．
$\overrightarrow{OA}=（1.0）.\overrightarrow{OB}=（0，1）$，∵$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，（m，n∈R），∴$\overrightarrow{OC}=（m，n）$⇒C（m，n），
∵$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$夾角為30⁰，∴tan30°=$\frac{n}{m}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
故選：A．．

點評 本題為向量的基本運算，建立直角坐標系，利用坐標解決問題是一種常用的處理向量運算的方法，屬基礎題．