解答:(I)證明:求導函數(shù),可得f'(x)=a
xlna+2x-lna=2x+(a
x-1)lna,
由于a>1,∴l(xiāng)na>0,當x>0時,a
x-1>0,∴f'(x)>0,故函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)解:令f'(x)=2x+(a
x-1)lna=0,得到x=0,f(x),f'(x)的變化情況如下表:
x |
(-∞,0) |
0 |
(0,+∞) |
f'(x) |
- |
0 |
+ |
f(x) |
遞減 |
極小值1 |
遞增 |
因為函數(shù)y=|f(x)-t|-1有三個零點,所以f(x)=t±1共有三個根,即y=f(x)的圖象與兩條平行于x軸的直線y=t±1共有三個交點.
y=f(x)在(-∞,0)遞減,在(0,+∞)遞增,極小值f(0)=1也是最小值,當x→±∞時,f(x)→+∞.
∵t-1<t+1,∴f(x)=t+1有兩個根,f(x)=t-1只有一個根.
∴t-1=f
min(x)=f(0)=1,∴t=2.(9分)
(Ⅲ)解:問題等價于f(x)在[-1,1]的最大值與最小值之差≤e-1.
由(Ⅱ)可知f(x)在[-1,0]上遞減,在[0,1]上遞增,
∴f(x)的最小值為f(0)=1,最大值等于f(-1),f(1)中較大的一個,
f(-1)=+1+lna,f(1)=a+1-lna,
f(1)-f(-1)=a--2lna,
記
g(x)=x--2lnx,(x≥1),則
g′(x)=1+-=(-1)2≥0(僅在x=1時取等號)
∴
g(x)=x--2lnx是增函數(shù),
∴當a>1時,
g(a)=a--2lna>g(1)=0,
即f(1)-f(-1)>0,∴f(1)>f(-1),
于是f(x)的最大值為f(1)=a+1-lna,
故對?x
1,x
2∈[-1,1],|f(x
1)-f(x
2)|≤|f(1)-f(0)|=a-lna,∴a-lna≤e-1,
當x≥1時,
(x-lnx)′=≥0,∴y=x-lnx在[1,+∞)單調(diào)遞增,
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范圍是1<a≤e.