(2012•漳州模擬)已知△ABC中,角A、B、C成等差數(shù)列,且sinC=2sinA.
(Ⅰ)求角A、B、C;
(Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an=2n|cosnC|,前n項和為Sn,若Sn=340,求n的值.
分析:(Ⅰ)解法1:由已知角A、B、C成等差數(shù)列,可得B=
π
3
,A+C=
3
,根據(jù)sinC=2sinA得sin(
3
-A)=2sinA
,展開,即可求得角A、C;
解法2:由解法1知B=
π
3
,又由sinC=2sinA得c=2a,利用余弦定理,可得c2=a2+b2,從而可得結(jié)論;
(Ⅱ)確定 an=2n|cosnC|=2n|cos
2
|=
0 ,   n為奇數(shù)
2n,  n為偶數(shù)
,利用求和公式及Sn=340,即可求n的值.
解答:解:(Ⅰ)解法1:由已知角A、B、C成等差數(shù)列,∴A+C=2B,
∵A+B+C=π,∴B=
π
3
,A+C=
3
,
由sinC=2sinA得sin(
3
-A)=2sinA
,
3
2
cosA+
1
2
sinA=2sinA
,
tanA=
3
3
,又0<A<
3
,
A=
π
6
,
C=
π
2

解法2:由解法1知B=
π
3
,又由sinC=2sinA得c=2a,
b2=a2+4a2-2a•2acos
π
3
=3a2
,
∴c2=a2+b2,
∴△ABC為Rt△,C=
π
2
,A=
3
-
π
2
=
π
6

(Ⅱ) an=2n|cosnC|=2n|cos
2
|=
0 ,   n為奇數(shù)
2n,  n為偶數(shù)

S2k+1=S2k=0+22+0+24++0+22k=
4(1-22k)
1-4
=
22k+2-4
3
,
22k+2-4
3
=340
,得22k+2=1024,
∴k=4,
∴n=8或9.
點評:本題考查數(shù)列與解三角形的綜合,解題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的性質(zhì),正確求數(shù)列的和.
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