Question

13．已知圓C：（x-1）²+（y+1）²=12，直線l：kx-y+1=0．
（1）求證：對k∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點；
（2）若直線l被圓C截得的弦長最小時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線經(jīng)過定點，判斷定點在圓內(nèi)即可；
（2）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長最小時，定點為圓心在直線上的射影．

解答 （1）證明：直線kx-y+1=0恒過定點A（0，1），且點A（0，1）在圓C：（x-1）²+（y+1）²=12的內(nèi)部，
所以直線l與圓C總有兩個不同的交點．
（2）解：若直線l被圓C截得的弦長最小，
則此時滿足AC⊥l，
則AC的斜率k=$\frac{1+1}{0-1}$=-2，
則l的斜率k=$\frac{1}{2}$，
即對應(yīng)的方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x-0），
即x-2y+2=0．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，以及直線方程的求解，要求熟練直線和圓相交的等價條件．