Question

4．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（x+2）=0，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2sin$\frac{π}{2}$x，記sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＞0}\\{0，x=0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f（x）-sgn（log₂（sgn（x）））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先將函數(shù)sgn（x）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=|x|，再分別畫出兩函數(shù)的圖象，并根據(jù)函數(shù)圖象確定方程解的個(gè)數(shù)．

解答 解：根據(jù)題中函數(shù)sgn（x）的解析式知，
sgn（x）=|x|，所以，
記g（x）=sgn（log₂（sgn（x）））=|log₂|x||，
畫出g（x）的圖象，如右圖紅線，
再考察函數(shù)f（x），分析如下：
因?yàn)�，f（x+2）=f（x），所以，f（x）是以2為周期的函數(shù)，
且當(dāng)x∈[0，2]，f（x）=2sin$\frac{π}{2}$x，畫出f（x）的圖象如右圖紫線，
當(dāng)x=±5時(shí)，f（x）=2，
所以，當(dāng)x＞5或x＜-5時(shí)，f（x）＞2，兩圖象無(wú)公共點(diǎn)，
由圖可知，兩圖象有8個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了根的存在和個(gè)數(shù)的判斷，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．