Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=$\sqrt{3}$． 
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求三棱錐P-BDC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證BD⊥AC，BD⊥PA，得出BD⊥平面PAC，又BD在平面PBD內，推出平面PBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）直接利用V=$\frac{1}{3}$S_△BDC•PA，求解幾何體的體積．

解答 （Ⅰ）證明：因為四棱錐P-ABCD的底面為菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，
因為PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，
又BD在平面PBD內，
所以平面PBD⊥平面PAD．…（6分）
（Ⅱ）解：因為PA⊥底面ABCD，所以PA是底面BCD上的高，
所以：$V=\frac{1}{3}{S_{△BDC}}•PA=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}）×\sqrt{3}=1$．…（12分）

點評 本題考查空間想象能力，直線與平面垂直，平面與平面垂直，幾何體的體積的計算，屬于中檔題．