Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$．（t為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=acosθ，（a＞0）
（Ⅰ） 求直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ） 若直線l與曲線C相切，求a的值．

Answer 1

分析 （I）消參數(shù)得到直線l的普通方程，對ρ=acosθ兩邊平方得出曲線C的普通方程；
（II）根據(jù)直線與圓相切得出圓心到直線的距離等于半徑，列方程解出a．

解答 解：（I）∵$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，∴x=1+y，即x-y-1=0．∴直線l的普通方程為x-y-1=0．
∵ρ=acosθ，∴ρ²=aρcosθ，∴曲線C的普通方程為x²+y²-ax=0．即（x-$\frac{a}{2}$）²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$．
（II）由（1）知曲線C的圓心為（$\frac{a}{2}$，0），半徑為$\frac{a}{2}$．
∵直線l與曲線C相切，∴$\frac{|\frac{a}{2}-1|}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}$，解得a=2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．