【題目】如圖所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）依題意，得，

所以.

在正方體中，因?yàn)?/span>,所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE和平面所成的角為，則

.

即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)F，使.

事實(shí)上，如圖所示，分別取和CD的中點(diǎn)F，G，連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點(diǎn)，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.

因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點(diǎn)，所以

，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（多選題）某工廠八年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量y（即前x年年產(chǎn)量之和）與時(shí)間x（年）的函數(shù)關(guān)系如圖，下列五種說法中正確的是（ ）

A.前三年中，總產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越快

B.前三年中，總產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越慢

C.前三年中，年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來越慢

D.第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)

E.第三年后，年產(chǎn)量保持不變

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，平面，且底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，

，

（1）證明：面面；

（2）在圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說明作法及其理由），并求四面體的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠(chéng)信用水”活動(dòng)，學(xué)生在購(gòu)水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)天的售出和收益情況，如下表：

售出水量（單位：箱）

收益（單位：元）

（1）若每天售出箱水，求預(yù)計(jì)收益是多少元？

（2）期中考試以后，學(xué)校決定將誠(chéng)信用水的收益，以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級(jí)前名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金元；考入年級(jí)前名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金元；考入年級(jí)名以后的特困生不獲得獎(jiǎng)學(xué)金。甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為.

①在學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金的條件下，求他獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率；

②已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等第的獎(jiǎng)學(xué)金是相互獨(dú)立的，求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)悉,2017年教育機(jī)器人全球市場(chǎng)規(guī)模已達(dá)到8.19億美元,中國(guó)占據(jù)全球市場(chǎng)份額10.8%.通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到40家中國(guó)機(jī)器人制造企業(yè),下圖是40家企業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)值頻率分布直方圖.

（1）求的值；

（2）在上述抽取的40個(gè)企業(yè)中任取3個(gè)，抽到產(chǎn)值小于500萬元的企業(yè)不超過兩個(gè)的概率是多少？

（3）在上述抽取的40個(gè)企業(yè)中任取2個(gè),設(shè)為產(chǎn)值不超過500萬元的企業(yè)個(gè)數(shù)減去超過500萬元的企業(yè)個(gè)數(shù)的差值,求的分布列及期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）

在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為，若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求圓C的一個(gè)參數(shù)方程；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，試求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(管道構(gòu)成Rt△FHE，H是直角項(xiàng)點(diǎn))來處理污水．管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好．設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，記∠BHE＝．

（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為的函數(shù)，并寫出定義域；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度L．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年10月24日，世界上最長(zhǎng)的跨海大橋一港珠澳大橋正式通車在一般情況下，大橋上的車流速度單位：千米時(shí)是車流密度單位：輛千米的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到220輛千米時(shí)，將造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛千米時(shí)，車流速度為100千米時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；

Ⅱ當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛時(shí)可以達(dá)到最大？并求出最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ）若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，曲線與直線交于兩點(diǎn)，求的值.

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