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【題目】如圖所示，在正方體中，E是棱的中點.

（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點F，使平面？證明你的結論.

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

設正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標系.

（Ⅰ）依題意，得，

所以.

在正方體中，因為,所以是平面的一個法向量，設直線BE和平面所成的角為，則

.

即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

（Ⅱ）在棱上存在點F，使.

事實上，如圖所示，分別取和CD的中點F，G，連結.因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.

因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點，所以

，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】（多選題）某工廠八年來某種產品總產量y（即前x年年產量之和）與時間x（年）的函數關系如圖，下列五種說法中正確的是（ ）

A.前三年中，總產量的增長速度越來越快

B.前三年中，總產量的增長速度越來越慢

C.前三年中，年產量的增長速度越來越慢

D.第三年后，這種產品停止生產

E.第三年后，年產量保持不變

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，平面，且底面為邊長為2的菱形，

，

（1）證明：面面；

（2）在圖中作出點在平面內的正投影（說明作法及其理由），并求四面體的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學校為倡導全體學生為特困學生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠信用水”活動，學生在購水處每領取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢，現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)天的售出和收益情況，如下表：

售出水量（單位：箱）

收益（單位：元）

（1）若每天售出箱水，求預計收益是多少元？

（2）期中考試以后，學校決定將誠信用水的收益，以獎學金的形式獎勵給品學兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級前名，獲一等獎學金元；考入年級前名，獲二等獎學金元；考入年級名以后的特困生不獲得獎學金。甲、乙兩名學生獲一等獎學金的概率均為，獲二等獎學金的概率均為，不獲得獎學金的概率均為.

①在學生甲獲得獎學金的條件下，求他獲得一等獎學金的概率；

②已知甲、乙兩名學生獲得哪個等第的獎學金是相互獨立的，求甲、乙兩名學生所獲得獎學金總金額的分布列及數學期望

附：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】據悉,2017年教育機器人全球市場規(guī)模已達到8.19億美元,中國占據全球市場份額10.8%.通過簡單隨機抽樣得到40家中國機器人制造企業(yè),下圖是40家企業(yè)機器人的產值頻率分布直方圖.

（1）求的值；

（2）在上述抽取的40個企業(yè)中任取3個，抽到產值小于500萬元的企業(yè)不超過兩個的概率是多少？

（3）在上述抽取的40個企業(yè)中任取2個,設為產值不超過500萬元的企業(yè)個數減去超過500萬元的企業(yè)個數的差值,求的分布列及期望.

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【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）

在極坐標系中，圓C的極坐標方程為，若以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系.

（1）求圓C的一個參數方程；

（2）在平面直角坐標系中，是圓C上的動點，試求的最大值，并求出此時點P的直角坐標.

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【題目】如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(管道構成Rt△FHE，H是直角項點)來處理污水．管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，記∠BHE＝．

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為的函數，并寫出定義域；

（2）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度L．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2018年10月24日，世界上最長的跨海大橋一港珠澳大橋正式通車在一般情況下，大橋上的車流速度單位：千米時是車流密度單位：輛千米的函數當橋上的車流密度達到220輛千米時，將造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛千米時，車流速度為100千米時，研究表明：當時，車流速度v是車流密度x的一次函數．

Ⅰ當時，求函數的表達式；

Ⅱ當車流密度x為多大時，車流量單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛時可以達到最大？并求出最大值．

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【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

(Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

(Ⅱ）若點的直角坐標為，曲線與直線交于兩點，求的值.

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