Question

若空間四邊形兩條對角線的長度分別是6和8，所成角是45°，則連接各邊中點所得四邊形的面積是

 

．

Answer 1

考點：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：根據(jù)題意，作出草圖，找到所求的四邊形，再探求該四邊形的形狀、各邊及各角之間的聯(lián)系，將四邊形的面積問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形問題求解．

解答： 解：如右圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，
由中位線的性質(zhì)知，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
由于兩對角線所成角為45°，不妨設(shè)∠EFG=45°，
由題意又設(shè)對角線AC=6，BD=8，
則EF=

1

2

AC=3，FG=

1

2

BD=4，
連接EG，得S△EFG=

1

2

EF×FG×sin∠45°=3

2

，
從而S四邊形EFGH=2S△EFG=6

2

．
故填6

2

．

點評：1、本題主要考查的兩異面直線所成的角，三角形面積公式等，關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)空間各直線之間的位置關(guān)系；
2、對于四邊形的面積問題一般是轉(zhuǎn)化為兩個三角形問題求解．求解時，應(yīng)弄清三角形各邊長及內(nèi)角等要素，然后運用三角形面積公式，常用的三角形面積公式有：S=

1

2

absinC和S=

1

2

×底×高．