Question

已知橢圓：，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：如圖所示，利用橢圓的定義得到=12-．因此只有當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最大值，分AB⊥x軸和AB與x軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式即可得出，通過(guò)比較得到的最小值．
解答：如圖所示，
由橢圓的定義可知：=，
∴=12-．好
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=-c代入橢圓的方程得，解得，
此時(shí)，，則=12-=；
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂）．
聯(lián)立，消去y得到（b²+9k²）x²+18k²cx+9k²c²-9b²=0，
∴，，
∴=
=．
綜上可知：只有當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值．
故答案為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義、分類討論的思想方法、直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．