Question

8．已知直線x+ay-2=0與圓心為C的圓（x-a）²+（y-1）²=4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a=4±$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC為等邊三角形，得到圓心到直線的距離為$\sqrt{3}$，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答 解：圓（x-a）²+（y-1）²=4的圓心C（a，1），半徑R=2，
∵直線和圓相交，△ABC為等邊三角形，
∴圓心到直線的距離為Rsin60°=$\sqrt{3}$，
即d=$\frac{|2a-2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
平方得a²-8a+1=0，
解得a=4±$\sqrt{15}$，
故答案為：4±$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得到圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．