【答案】
分析:(1)由題意可得函數(shù)的定義域(-∞,)∪(0.+∞),故可設(shè)[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.而函數(shù)
在
上單調(diào)遞增.假設(shè)[m,n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則
,通過判斷方程的解的存在情況進行判斷是否存在和諧區(qū)間
(2)設(shè)[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.由題意可得[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
若函數(shù)
(a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],由題意可得函數(shù)
在[m,n]上單調(diào)遞增.,則
,故m、n是方程
,即a
2x-(a
2+a)x+1=0的同號的相異實數(shù)根,利用一元二次方程有兩個不同的實根的條件可求a>3或 a<-1而
,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求
(3)可以舉常見的基本初等函數(shù),如y=-x+2,
,
即可.
解答:解:(1)設(shè)[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函數(shù)
在[m,n]上單調(diào)遞增.
若[m,n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則
(4分)
故m、n是方程
的同號的相異實數(shù)根.∵x
2-3x+5=0無實數(shù)根,
∴函數(shù)
不存在“和諧區(qū)間”.(6分)
(2)設(shè)[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.
∵x≠0,,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函數(shù)
在[m,n]上單調(diào)遞增.
若[m,n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則
(10分)
故m、n是方程
,即a
2x-(a
2+a)x+1=0的同號的相異實數(shù)根.
∵
,
∴m,n同號,只須△=a
2(a+3)(a-1)>0,即a>1或a<-3時,已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m,n]
,∵
,
∴當a=3時,n-m取最大值
(14分)
(3)如:y=-x+2和諧區(qū)間為、[0,2,],[-1,3,],
當a+b=2的區(qū)間[a,b];
和諧區(qū)間為[0,,1]
和諧區(qū)間為[-1,0,](18分)
點評:本題主要以新定義為載體,綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值方程的根的情況、二次函數(shù)的最值的求解,考查了利用已學知識解決新問題的能力,考查了推理運算的能力,本題綜合性較強.