對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]⊆D,同時滿足:
①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②當定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)求證:函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.
(2)已知:函數(shù)(a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當a變化時,求出n-m的最大值.
(3)易知,函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m,n]為它的“和諧區(qū)間”.試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù),并寫出它的一個“和諧區(qū)間”.(不需證明,但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數(shù)為例)
【答案】分析:(1)由題意可得函數(shù)的定義域(-∞,)∪(0.+∞),故可設(shè)[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.而函數(shù)上單調(diào)遞增.假設(shè)[m,n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則,通過判斷方程的解的存在情況進行判斷是否存在和諧區(qū)間
(2)設(shè)[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.由題意可得[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
若函數(shù)(a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],由題意可得函數(shù)在[m,n]上單調(diào)遞增.,則,故m、n是方程,即a2x-(a2+a)x+1=0的同號的相異實數(shù)根,利用一元二次方程有兩個不同的實根的條件可求a>3或 a<-1而,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求
(3)可以舉常見的基本初等函數(shù),如y=-x+2,,即可.
解答:解:(1)設(shè)[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.
∵x≠0,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函數(shù)在[m,n]上單調(diào)遞增.
若[m,n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則(4分)
故m、n是方程的同號的相異實數(shù)根.∵x2-3x+5=0無實數(shù)根,
∴函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.(6分)
(2)設(shè)[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.
∵x≠0,,∴[m,n]?(-∞,0)或[m,n]?(0,+∞)
故函數(shù)在[m,n]上單調(diào)遞增.
若[m,n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則(10分)
故m、n是方程,即a2x-(a2+a)x+1=0的同號的相異實數(shù)根.
,
∴m,n同號,只須△=a2(a+3)(a-1)>0,即a>1或a<-3時,已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m,n]
,∵
∴當a=3時,n-m取最大值(14分)
(3)如:y=-x+2和諧區(qū)間為、[0,2,],[-1,3,],
當a+b=2的區(qū)間[a,b];和諧區(qū)間為[0,,1]
和諧區(qū)間為[-1,0,](18分)
點評:本題主要以新定義為載體,綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值方程的根的情況、二次函數(shù)的最值的求解,考查了利用已學知識解決新問題的能力,考查了推理運算的能力,本題綜合性較強.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]⊆D,同時滿足:
①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②當定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)求證:函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”.
(2)已知:函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
(a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當a變化時,求出n-m的最大值.
(3)易知,函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m,n]為它的“和諧區(qū)間”.試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù),并寫出它的一個“和諧區(qū)間”.(不需證明,但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數(shù)為例)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于定義域為D的函數(shù)f(x),若存在區(qū)間M=[a,b]⊆D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的“等值區(qū)間”.給出下列三個函數(shù):
f(x)=(
12
)x
;   ②f(x)=x3;    ③f(x)=log2x+1
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是
2
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),若同時滿足下列條件:①f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域為[a,b];那么把y=f(x)(x∈D)叫閉函數(shù).
(1)求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a,b];
(2)判斷函數(shù)f(x)=
3
4
x+
1
x
(x>0)是否為閉函數(shù)?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•崇明縣一模)定義:對于定義域為D的函數(shù)f(x),如果存在t∈D,使得f(t+1)=f(t)+f(1)成立,稱函數(shù)f(x)在D上是“T”函數(shù).已知下列函數(shù):
①f(x)=
1x
; 
②f(x)=log2(x2+2);
③f(x)=2x(x∈(0,+∞)); 
④f(x)=cosπx(x∈[0,1]),其中屬于“T”函數(shù)的序號是
.(寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于定義域為D的函數(shù)f(x),若同時滿足下列條件:①f(x)在D內(nèi)有單調(diào)性;②存在區(qū)間[a,b]⊆D,使f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域也為[a,b],則稱f(x)為D上的“和諧”函數(shù),[a,b]為函數(shù)f(x)的“和諧”區(qū)間.
(Ⅰ)求“和諧”函數(shù)y=x3符合條件的“和諧”區(qū)間;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
是否為“和諧”函數(shù)?并說明理由.
(Ⅲ)若函數(shù)g(x)=
x+4
+m
是“和諧”函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.

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