Question

4．定義在[a，b]上的函數(shù)f（x），若存在x₀∈（a，b）使得f（x）在[a，x₀]上單調(diào)遞增，在[x₀，b]上單調(diào)遞減，則稱f（x）為[a，b]上的單峰函數(shù)，x₀為峰點．
（1）若f（x）=-x³+3x，則f（x）是否為[0，2]上的單峰函數(shù)，若是，求出峰點；若不是，說明理由；
（2）若g（x）=m•4^x+2^x在[-1，1]上不是單峰函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若h（x）=|x²-1|+n|x-1|在[-2，2]上為單峰函數(shù)，求負數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）=-x³+3x，利用導(dǎo)數(shù)法分析f（x）在區(qū)間[0，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單峰函數(shù)的定義，可得答案；
（2）先求出g（x）=m•4^x+2^x在[-1，1]上是單峰函數(shù)的實數(shù)m的取值范圍，進而可得答案；
（3）根據(jù)單峰函數(shù)的定義，對負數(shù)n的取值進行分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）若f（x）=-x³+3x，則f′（x）=-3x²+3，
令f′（x）=0，解得x=±1，
當(dāng)x∈[0，1）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，2]時，f′（x）＜0，
故f（x）在[0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2]上單調(diào)遞減，…（3分）
所以f（x）是為[0，2]上單峰函數(shù)，峰點為1．…（4分）
（2）先考慮g（x）=m•4^x+2^x在[-1，1]上是單峰函數(shù)，…（5分）
令t=2^x（x∈[-1，1]），則t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
問題轉(zhuǎn)化為p（t）=mt²+t在[$\frac{1}{2}$，2]是單峰函數(shù)，
所以$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\ \frac{1}{2}＜-\frac{1}{2m}＜2\end{array}\right.$，
解得m∈（-1，-$\frac{1}{4}$）．…（8分）
所以實數(shù)m的范圍是（-∞，-1]∪[-$\frac{1}{4}$，+∞）．…（9分）
（注本題如正面分類討論也可，酌情給分）

（3）h（x）=|x²-1|+n|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-nx+n-1，x∈[-2，-1]\\{-x}^{2}-nx+n+1，x∈（-1，1）\\{x}^{2}+nx-n-1，x∈[1，2]\end{array}\right.$
①若$\frac{n}{2}$≤-2，即n≤-4，則-$\frac{n}{2}$≥2，
所以，h（x）在[-2，-1]上遞增，在（-1，1）上遞增，在[1，2]上遞減，
即h（x）在[-2，1]上遞增，在[1，2]上遞減，
所以h（x）是單峰函數(shù)，峰點為1；                                                  …（11分）
②若-2＜$\frac{n}{2}$＜-1，即-4＜n＜-2，則1＜-$\frac{n}{2}$＜2，
所以，h（x）在[-2，$\frac{n}{2}$]遞減，在（$\frac{n}{2}$，-1）上遞增，
在（-1，1）上遞增，（1，-$\frac{n}{2}$）上遞減，在[-$\frac{n}{2}$，2]上遞增，
所以h（x）不為單峰函數(shù)．      …（13分）
③若-1≤$\frac{n}{2}$＜0，即-2≤n＜0，則0＜-$\frac{n}{2}$≤1，
所以，h（x）在[-2，-1]上遞減，在（-1，-$\frac{n}{2}$）上遞增，
在（-$\frac{n}{2}$，1）上遞減，在[1，2]上遞增，
所以h（x）不為單峰函數(shù)．   …（15分）
綜上，n≤-4．                                       …（16分）

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，正確理解單峰函數(shù)的定義，是解答的關(guān)鍵．