Question

6．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=6，BE=3．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求PD與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設PA中點為G，連結EG，DG，推導出四邊形BEGA是平行四邊形，從而四邊形CDGE是平行四邊形，進而CE∥DG，由此能證明CE∥平面PAD．
（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PD與平面PCE所成角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）設PA中點為G，連結EG，DG，
∵PA∥BE，且PA=6，BE=3，∴BE∥AG，且BE=AG，
∴四邊形BEGA是平行四邊形，
∴EG∥AB，且EG=AB，
∵正方形ABCD，∴CD∥AB，CD=AB，
∴EG∥CD，且EG=CD，
∴四邊形CDGE是平行四邊形，∴CE∥DG，
∵DG?平面PAD，CE?平面PAD，∴CE∥平面PAD．
解：（Ⅱ）如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，
則C（6，6，0），E（6，0，3），P（0，0，6），D（0，6，0），
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，6，-6），$\overrightarrow{PC}$=（6，6，-6），$\overrightarrow{PE}$=（6，0，-3），
設平面PCE的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=2x-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
設PD與平面PCE所成有為α，
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{|-6|}{\sqrt{6}×6\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴PD與平面PCE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．