Question

【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)證明:AE⊥PD;

(2)若AB=2,PA=2,求二面角E-AF-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)已知可得為正三角形,由為的中點(diǎn),得，可得，再由平面 ,得，由線面垂直的判定得平面，從而可得結(jié)論；（2）由(1)知 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量，結(jié)合為平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可求出二面角的余弦值.

(1)證明:由四邊形ABCD為菱形,∠ABC=60°,可得△ABC為正三角形.

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC.又BC∥AD,所以AE⊥AD.

因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.

又PA平面PAD,AD平面PAD,PA∩AD=A,

所以AE⊥平面PAD,所以AE⊥PD.

(2)由(1)知AE,AD,AP兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由E,F分別為BC,PC的中點(diǎn),易得A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F,所以=(,0,0),=.設(shè)平面AEF的法向量為m=(x1,y1,z1),

則即

取z1=-1,則m=(0,2,-1).

連接BD.易知BD⊥AC,BD⊥PA,又PA∩AC=A,

所以BD⊥平面PAC,即BD⊥平面AFC,故為平面AFC的一個(gè)法向量,易得=(-,3,0),

所以cos<m,>===.

結(jié)合圖形可知,所求二面角的余弦值為.