Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)為a-1，4，2a，記前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）設(shè)S_k=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

Sn

n

，求b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的前三項(xiàng)可求該數(shù)列的首項(xiàng)a₁、公差d，再由等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式算出S_n，進(jìn)一步得S_k=2550，解出k的值
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式求值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得a₁=a-1，a₂=4，a₃=2a，又a₁+a₃=2a₂，
∴（a-1）+2a=8，即a=3．（2分）
∴a₁=2，公差d=a₂-a₁=2．
由S_k=ka₁+

k(k-1)

2

d，得（4分）
2k+

k(k-1)

2

×2=2550
即k²+k-2550=0．解得k=50或k=-51（舍去）．
∴a=3，k=50．（6分）
（Ⅱ）由S_n=na₁+

n(n-1)d

2

，得
S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n（8分）
∴b_n=

Sn

n

=n+1（9分）
∴{b_n}是等差數(shù)列．
則b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n-1+1）
=（3+7+11+…+4n-1）+n
=

(3+4n-1)n

2

+n
=

(4n+2)n

2

+n（11分）
∴b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1=2n²+2n（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n和公式，考查基本運(yùn)算．