已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若A、B為軌跡C上的兩點(diǎn),已知FA⊥FB,且△FAB的面積S△FAB=4,求直線AB的方程.
分析:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x=-2的距離小1.代入兩點(diǎn)之間距離公式,及點(diǎn)到直線的距離公式,化簡即可得到點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,結(jié)合FA⊥FB,且△FAB的面積S△FAB=4,我們可以構(gòu)造出關(guān)于m的方程,解方程求出m值,即可求出滿足條件的直線AB的方程.
解答:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),根據(jù)題意得
=|x+2|-1當(dāng)
x≥-2時(shí),則=x+1兩邊平方化簡得y
2=4x
當(dāng)x<-2時(shí),則
=-x-3≥0得x≤-3又由
=-x-3≥0化簡得y2=8x+8得x≥-1與x<-2矛盾
故點(diǎn)P的軌跡C的方程為y
2=4x.
(2)設(shè)直線AB的方程為x=ty+m
由
得y
2-4ty-4m=0
由△=16t
2+16m>0得t
2+m>0
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)
則y
1+y
2=4t,y
1y
2=-4m
|y1-y2|===4=(x
1-1,y
1),
=(x
2-1,y
2)
由
•
=0,得x
1•x
2-(x
1+x
2)+1+y
1•y
2=0
又由x
1=t•y
1+m,x
2=t•y
2+m,得4t
2=m
2-6m+1
S
△ABF=
|m-1|×4
=|m-1|
=|m-1|
=(m-1)
2,
由(m-1)
2=4,解得m=-1,或m=3
將m=-1代入4t
2=m
2-6m+1得t
2=2,
將m=3代入4t
2=m
2-6m+1得4t
2=9-18+1=-8<O不成立,
∴m=3不合是題意舍去
∴所求直線AB的方程為x±
y+1=0
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是直線的一般式方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的綜合問題,(1)中關(guān)鍵是根據(jù)已知,構(gòu)造關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的方程,(2)的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”.