已知點P是直角坐標平面內的動點,點P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點F(-1,0)的距離為d2,且
d2
d1
=
2
2

(1)求動點P所在曲線C的方程;
(2)直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B(點A或B不在x軸上),分別過A、B點作直線l1:x=-2的垂線,對應的垂足分別為M、N,試判斷點F與以線段MN為直徑的圓的位置關系(指在圓內、圓上、圓外等情況);
(3)記S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的點),問是否存在實數(shù)λ,使S22=λS1S3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
進一步思考問題:若上述問題中直線l1:x=-
a2
c
、點F(-c,0)、曲線C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,c=
a2-b2
)
,則使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不變.請給出你的判斷
 
 (填寫“不正確”或“正確”)(限于時間,這里不需要舉反例,或證明).
分析:(1)設動點為P(x,y),依據(jù)題意,有
(x+1)2+y2
|x+2|
=
2
2
,由此能求出動點P所在曲線C的方程.
(2)點F在以MN為直徑的圓的外部.理由:由題意可知,當過點F的直線l的斜率為0時,不合題意,故可設直線l:x=my-1,聯(lián)立方程組
x2
2
+y2=1
x=my-1
,可化為(2+m2)y2-2my-1=0,則點A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐標滿足
y1+y2=
2m
2+m2
y1y2=-
1
2+m2
.由此能推導出∠MFN為銳角,即點F在以MN為直徑的圓的外部.
(3)由x1+x2=m(y1+y2)-2=-
4
2+m2
,x1x2=(my1-1)(my2-1)=
2-2m2
2+m2
,知S1S3=
1
2
(x1+2)|y1|•
1
2
(x2+2)|y2|
=
1
4
1
2+m2
[x1x2+2(x1+x2)+4]
=
1
2
1+m2
(2+m2)2
,
S
2
2
=(
1
2
|y1-y2|•1)2
=
1
4
[(y1+y2)2-4y1y2]
=2
1+m2
(2+m2)2
.由此知存在實數(shù)λ=4使得結論成立.
解答:解:(1)設動點為P(x,y),(1分)
依據(jù)題意,有
(x+1)2+y2
|x+2|
=
2
2
,化簡得
x2
2
+y2=1
.(3分) 因此,動點P所在曲線C的方程是:
x2
2
+y2=1
.(4分)
(2)點F在以MN為直徑的圓的外部.
理由:由題意可知,當過點F的直線l的斜率為0時,不合題意,故可設直線l:x=my-1,
如圖所示.精英家教網(wǎng)(5分)
聯(lián)立方程組
x2
2
+y2=1
x=my-1
,可化為(2+m2)y2-2my-1=0,
則點A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐標滿足
y1+y2=
2m
2+m2
y1y2=-
1
2+m2
.(7分)
又AM⊥l1、BN⊥l1,可得點M(-2,y1)、N(-2,y2).
點與圓的位置關系,可以比較點到圓心的距離與半徑的大小來判斷,也可以計算點與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來加以判斷.
FM
=(-1,y1)
,
FN
=(-1,y2)
,則
FM
FN
=(-1,y1)•(-1,y2)=1+y1y2
=
1+m2
2+m2
>0
.(9分)
于是,∠MFN為銳角,即點F在以MN為直徑的圓的外部.(10分)
(3)依據(jù)(2)可算出x1+x2=m(y1+y2)-2=-
4
2+m2
,x1x2=(my1-1)(my2-1)=
2-2m2
2+m2
,
S1S3=
1
2
(x1+2)|y1|•
1
2
(x2+2)|y2|
=
1
4
1
2+m2
[x1x2+2(x1+x2)+4]
=
1
2
1+m2
(2+m2)2
,
S
2
2
=(
1
2
|y1-y2|•1)2
=
1
4
[(y1+y2)2-4y1y2]
=2
1+m2
(2+m2)2
.(14分)
所以,S22=4S1S3,即存在實數(shù)λ=4使得結論成立.(15分)
對進一步思考問題的判斷:正確.(18分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識,解題時要注意合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P是直角坐標平面內的動點,點P到直線x=-
p
2
-1
(p是正常數(shù))的距離為d1,到點F(
p
2
,0)
的距離為d2,且d1-d2=1.(1)求動點P所在曲線C的方程;
(2)直線l 過點F且與曲線C交于不同兩點A、B,分別過A、B點作直線l1:x=-
p
2
的垂線,對應的垂足分別為M、N,求證=
FM
FN
=0
;
(3)記S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FEN(A、B、M、N是(2)中的點),λ=
S
2
2
S1S3
,求λ 的值.

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已知點P是直角坐標平面內的動點,點P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點F(-1,0)的距離為d2,且
d2
d1
=
2
2

(1)求動點P所在曲線C的方程;
(2)直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B(點A或B不在x軸上),分別過A、B點作直線l1:x=-2的垂線,對應的垂足分別為M、N,試判斷點F與以線段MN為直徑的圓的位置關系(指在圓內、圓上、圓外等情況);
(3)記S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FBN(A、B、M、N是(2)中的點),問是否存在實數(shù)λ,使
S
2
2
S1S3
成立.若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點P是直角坐標平面內的動點,點P到直線x=-
p
2
-1
(p是正常數(shù))的距離為d1,到點F(
p
2
,0)
的距離為d2,且d1-d2=1.
(1)求動點p所在曲線C的方程
(2)直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B,分別過A、B點作直線l1:x=-
p
2
的垂線,對應的垂足分別為M、N,求證:FM⊥FN.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年重慶市高三第五次月考理科數(shù)學 題型:解答題

已知點P是直角坐標平面內的動點,點P到直線的距離為d1,到點F(– 1,0)的距離為d2,且

(1)    求動點P所在曲線C的方程;

(2)    直線過點F且與曲線C交于不同兩點AB(點AB不在x軸上),分別過A、B點作直線的垂線,對應的垂足分別為,試判斷點F與以線段為直徑的圓的位置關系(指在圓內、圓上、圓外等情況);

(3)    記,(A、B是(2)中的點),問是否存在實數(shù),使成立.若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

 

 

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