已知函數(shù)f(x)=x2e-ax(a>0),求函數(shù)在[1,2]上的最大值.
【答案】
分析:對(duì)函數(shù)f(x)=x
2e
-ax,進(jìn)行求導(dǎo),解出函數(shù)的極值點(diǎn),然后根據(jù)極值點(diǎn)的值判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,因區(qū)間[1,2]比較大,里面不是單調(diào)的增或者間,需要討論,然后代入求解.
解答:解:∵f′(x)=2xe
-ax+x
2(-a)e
-ax=e
-ax(-ax
2+2x)(2分)
令f′(x)>0,∵e
-ax>0(3分)
∴-ax
2+2x>0,解得0<x<
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(4分)
∴f(x)在(-∞,0)和(
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,+∞)內(nèi)是減函數(shù),在(0,
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)內(nèi)是增函數(shù).(6分)
①當(dāng)0<
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<1,即a>2時(shí),f(x)在(1,2)內(nèi)是減函數(shù).
∴在[1,2]上f
max(x)=f(1)=e
-a;(8分)
②當(dāng)1≤
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≤2,即1≤a≤2時(shí),f(x)在(1,
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)內(nèi)是增函數(shù),在(
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,2)內(nèi)是減函數(shù).
∴在[1,2]上fmax(x)=f(
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)=4a
-2e-2;(10分)
③當(dāng)
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>2即0<a<1時(shí),f(x)在(1,2)是增函數(shù).
∴在[1,2]上f
max(x)=f(2)=4e
-2a.(12分)
綜上所述,當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在[1,2]上的最大值為4e
-2a;
當(dāng)1≤a≤2時(shí),f(x)在[1,2]上的最大值為4a
-2e
-2;
當(dāng)a>2時(shí),f(x)在[1,2]上的最大值為e
-a.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合分析和解決問題的能力,此題是一道中檔題;