Question

已知函數(shù)f(x)=Inx-

a

x

(a∈R，a≠0)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，討論f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值是

3

2

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（2）這是一道求函數(shù)的最值的逆向思維問題．本題的關(guān)鍵是比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，列表解題一目了然，從而確定出a的值．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=lnx+

1

x

，
∴f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

∵x＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上遞減，在區(qū)間（1，+∞）上遞增．（6分）
（2）由已知f′(x)=

x+a

x2

，①當(dāng)a≥-1時(shí)，而x≥1，
∴x+a≥a+1≥0，
∴f（x）在[1，e]上遞增，于是f(x)min=f(1)=-a=

3

2

，有a=-

3

2

不成立（8分）
②當(dāng)a≤-e時(shí)，而x≤e，
∴x+a≤e+a≤0，
∴f（x）在[1，e]上遞減，
于是f(x)min=f(e)=1-

a

e

=

3

2

，有a=-

e

2

不成立．（10分）
③當(dāng)-e＜a＜-1時(shí)，在區(qū)間[1，-a]上，a+1≤x+a≤0，則f'（x）≤0，
∴f（x）遞減，
在區(qū)間（-a，e]上，0＜x+a≤a+e，則f'（x）＞0，
∴f（x）遞增，
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=

3

2

，
∴a=-

e

（12分）
綜上所述得：實(shí)數(shù)a=-

e

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)就函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及求函數(shù)的最值的逆向思維問題．