Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x＜2}\\{2f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$，g（x）=2${\;}^{\frac{x-1}{2}}$，設(shè)方程f（x）=g（x）的根從小到大依次為x₁，x₂…x_n…，n∈N⁺，則數(shù)列{f（x_n）}的前n項(xiàng)和為（　�。�

• A． 2ⁿ⁺¹-2
• B． 2ⁿ-1
• C． n²
• D． n²-1

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x＜2}\\{2f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$的圖象，可得數(shù)列{f（x）}從小到大依次為1，2，4，…，組成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列{f（x）}的前n項(xiàng)和．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x＜2}\\{2f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$的圖象如圖所示，
x=1時(shí)，f（x）=1，
x=3時(shí)，f（x）=2，
x=5時(shí)，f（x）=4，
…
所以方程f（x）=g（x）=2${\;}^{\frac{x-1}{2}}$的根從小到大依次為1，3，5，…，數(shù)列{f（x_n）}從小到大依次為1，2，4，…，組成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列{f（x_n）}的前n項(xiàng)和為$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程根，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作圖，確定數(shù)列{f（x）}從小到大依次為1，2，4，…，組成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵．