Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為橢圓上一點，連接PF₁交y軸于點Q，若△PQF₂為等邊三角形，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意|F₁F₂|=2c，依題意，△PQF₁為正三角形，推出PF₂⊥x軸，即可求得此橢圓的離心率．

解答 解：如圖：橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為橢圓上一點，連接PF₁交y軸于點Q，若△PQF₂為等邊三角形，可得|QF₁|=|QF₂|，Q是PF₁的中點，
∴PF₂⊥x軸，
可得|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，3$\frac{^{2}}{a}$=2a，即3（a²-c²）=2a²．
解得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題．