Question

15．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1²=S_n+1+S_n．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_2n-1•2${\;}^{{a}_{n}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1²=S_n+1+S_n，利用遞推關系可得a_n+1²-${a}_{n}^{2}$=a_n+1+a_n，由于a_n+1+a_n＞0，可得a_n+1-a_n=1．再利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1²=S_n+1+S_n，∴當n≥2時，${a}_{n}^{2}$=S_n+S_n-1，可得a_n+1²-${a}_{n}^{2}$=a_n+1+a_n，
∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1．
∴數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）b_n=a_2n-1•2${\;}^{{a}_{n}}$=（2n-1）•2ⁿ．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．