Question

（2006•靜安區(qū)二模）在△ABC中，已知

|BC|

=30，外接圓的半徑R=17．
（1）求∠A的大小；（用反三角函數(shù)值表示）
（2）若

AB

•

AC

=112，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理列出關(guān)系式，將a與2R代入求出sinA的值，利用反函數(shù)定義即可求出A的度數(shù)；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡已知等式左邊，求出bc的值，再由余弦定理列出關(guān)系式，化簡求出b+c的值，由a+b+c即可求出三角形的周長．

解答：解：（1）設(shè)|

BC

|=a，|

AC

|=b，|

AB

|=c，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，得sinA=

a

2R

=

30

34

=

15

17

，
∴∠A=arcsin

15

17

或π-arcsin

15

17

；
（2）由

AB

•

AC

=112，得c•bcosA=112＞0，
∴∠A為銳角，cosA=

8

17

，即b•c=14×17，
再由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2×14×17-900

2×14×17

，得b+c=40，
則△ABC的周長為40+30=70．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．