Question

已知當(dāng)m∈R時(shí)，函數(shù)f（x）=m（x²-1）+x-a的圖象和x軸恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）為一次函數(shù)，它的圖象與x軸恒有交點(diǎn)，得到a為全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)m≠0時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，就是要求二次函數(shù)恒與x軸有交點(diǎn)，即y=0時(shí)的一元二次方程mx²+x-（m+a）=0恒有解即根的判別式4m²+4am+1恒大于等于0，即要它的根的判別式小于等于0得到關(guān)于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍．
解答：解：（1）m=0時(shí)，f（x）=x-a是一次函數(shù)，它的圖象恒與x軸相交，此時(shí)a∈R．
（2）m≠0時(shí)，由題意知，方程mx²+x-（m+a）=0恒有實(shí)數(shù)解，其充要條件是△=1+4m（m+a）=4m²+4am+1≥0．
又只需△′=（4a）²-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．
∴m=0時(shí)，a∈R；m≠0時(shí)，a∈[-1，1]．
點(diǎn)評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題，會(huì)利用根的判別式判斷二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．掌握函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．