設(shè)函數(shù),其中常數(shù)a>1,f(x)=
13
x3-(1+a)x2+4ax+24a
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減可確定函數(shù)的單調(diào)性.
(2)先將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在x≥0時(shí)的最小值問題,再結(jié)合(1)中的單調(diào)性可確定f(x)在x=2a或x=0處取得最小值,求出最小值,即可得到a的范圍.
解答:解:(1)f'(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
由a>1知,當(dāng)x<2時(shí),f'(x)>0,
故f(x)在區(qū)間(-∞,2)是增函數(shù);
當(dāng)2<x<2a時(shí),f'(x)<0,
故f(x)在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù);
當(dāng)x>2a時(shí),f'(x)>0,
故f(x)在區(qū)間(2a,+∞)是增函數(shù).
綜上,當(dāng)a>1時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,2)和(2a,+∞)是增函數(shù),
在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù).
(2)由(1)知,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)在x=2a或x=0處取得最小值.
f(2a)=
1
3
(2a)3-(1+a)(2a)2+4a•2a+24a
=-
4
3
a3+4a2+24a
,f(0)=24a
由假設(shè)知
a>1
f(2a)>0
f(0)>0

a>1
-
4
3
a(a+3)(a-6)>0
24a>0.
解得1<a<6
故a的取值范圍是(1,6)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力,涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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(2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.w.

 

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