Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow$=（cosx，-1）．
（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$時，求cos2x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$，求當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）的最大值及對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行，求得tanx=-$\frac{3}{4}$，二倍角公式cos2x=cos²x-sin²x═$\frac{1-2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$，可求得，
（2）將f（x）化簡得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得f（x）的最大值及x的取值．

解答 解：（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$時，-sinx=$\frac{3}{4}cosx$，
tanx=-$\frac{3}{4}$，
cos2x=cos²x-sin²x=$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{co{s}^{2}x-2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$，
=$\frac{1-2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$，
=$\frac{8}{5}$，
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=2sinxcosx+2cos²+$\frac{1}{2}$，
=sin2x+cos2x+$\frac{3}{2}$，
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，
0≤x≤$\frac{π}{2}$時，$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{π}{8}$時，f（x）的最大值為$\sqrt{2}+\frac{3}{2}$．

點評 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．