Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入函數(shù)f（x）的解析式，判斷其單調(diào)性進(jìn)而得到f（x）在[

1

2

，2]上的最小值；
（2）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范圍；
（3）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，令x=

n

n-1

代入函數(shù)f（x）根據(jù)單調(diào)性得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，令n=1，2，…代入可證．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1-x

x

+lnx則f′（x）=

x-1

x2

，
∴當(dāng)x∈[

1

2

，1）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在[

1

2

，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上有唯一極小值點(diǎn)，故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
（2））∵f（x）=

1-x

ax

+lnx
∴f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)
∴f′（x）=

ax-1

ax2

≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

對(duì)x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)n＞1時(shí)，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

∴l(xiāng)n

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，…ln

n

n-1

＞

1

n

，
各項(xiàng)相加得ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴當(dāng)a=1時(shí)，求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，屬于中檔題．