Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+

1+x2

），
（Ⅰ）判斷并證明函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)y=f（x）在R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（a•4^x）+f（2^x+1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，然后結(jié)合f（-x）=-f（x）可得函數(shù)的奇偶性；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）把不等式f（a•4^x）+f（2^x+1）＞0轉(zhuǎn)化為f（a•4^x）＞-f（2^x+1），結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)得到a＞-(

1

2

)2x-(

1

2

)x，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得[-(

1

2

)2x-(

1

2

)x]在區(qū)間[1，2]上的最大值，則答案可求．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x+

1+x2

）為奇函數(shù)．
要使函數(shù)有意義，則x+

1+x2

＞0，
∵

1+x2

＞

x2

=|x|≥x，
∴x+

1+x2

＞0的解集為R，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
又f(-x)=ln(-x+

1+x2

)=ln(

1

x+ 1+x2

)=-ln(x+

1+x2

)=-f(x)，
∴函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=ln

x1+ 1+x12

x2+ 1+x22

，
∵0≤x₁＜x₂，
∴

1+x12

＜

1+x22

，
∴0＜

x1+ 1+x12

x2+ 1+x22

＜1，
即ln

x1+ 1+x12

x2+ 1+x22

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
又f（x）為奇函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）在R上為增函數(shù)；
（3）不等式f（a•4^x）+f（2^x+1）＞0等價(jià)于f（a•4^x）＞-f（2^x+1）．
∵f（-x）=-f（x），
∴f（a•4^x）＞f（-2^x-1）．
函數(shù)y=f（x）在R上為增函數(shù)，
∴原不等式等價(jià)于a•4^x＞-2^x-1，
即a＞-(

1

2

)2x-(

1

2

)x在區(qū)間[1，2]上恒成立，
只需a＞[-(

1

2

)2x-(

1

2

)x]max．
令u=(

1

2

)x，y=-u2-u，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，[-(

1

2

)2x-(

1

2

)x]在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=2時(shí)，[-(

1

2

)2x-(

1

2

)x]max=-

5

16

．
即a＞-

5

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷與證明，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分離變量法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．