Question

10．設方程e^x+x=a的解為x₁，方程lnx+x=a的解為x₂，則|x₁-x₂|的最小值為1．

Answer 1

分析 此題要求的雖然是絕對值的最小值，但是通過觀察發(fā)現兩個方程都是非μ常規(guī)的我們不會解的方程類型，所以我們換個思路，運用函數的思想來解決方程的有關問題．將方程的解x₁看作是函數${y}_{1}={e}^{x}$與函數y₀=a-x交點坐標的橫坐標值；將方程的解x₂看作是函數y₂=lnx與函數y₀=a-x交點坐標值得橫坐標；由于函數y₁，y₂互為反函數，均與直線y₀有交點，所以兩個交點關于直線y=x對稱，所以${x}_{2}={e}^{{x}_{1}}$，|x₁-x₂|=$|{e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}|$，可看作是函數${g}_{（x）}={e}^{x}-x$的絕對值，此時問題變?yōu)榍蠛瘮到^對值的最小值，又因為其為非常規(guī)函數，所以應用導數的方法求解．

解答 解：方程e^x+x=a的解x₁可以看作是函數${y}_{1}={e}^{x}$與函數y₀=a-x交點坐標的橫坐標值；
方程lnx+x=a的解x₂可以看作是函數y₂=lnx與函數y₀=a-x交點坐標的橫坐標值；
∵函數y₁，y₂互為反函數，且均與函數y₀有交點，
∴兩個交點關于直線y=x對稱，∴${x}_{2}={e}^{{x}_{1}}$，
∴${x}_{2}-{x}_{1}={e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}$，
構造函數${g}_{（x）}={e}^{x}-x$，則丨x₁-x₂丨的最小值可以看作函數丨g_（x）丨的最小值；
我們用導數的方法一研究其何時取得最小值；
∴函數${g}_{（x）}={e}^{x}-x$的導數${{g}^{′}}_{（x）}={e}^{x}-1$，則g′_（x）=0的解為x=0；
∴$|{x}_{1}-{x}_{2}|=|{e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}|=|{g}_{（x）}|$，故其最小值為1；
故答案為：1．

點評 這道題充分利用了函數的性質，互逆函數間的對稱關系，并利用導數的方法研究函數的最值問題．難點在于將方程的解變成是函數的交點，并采用構造函數的方法研究最值問題．