Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD底面為正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，點(diǎn)M為線段PA上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)N在線段BD上，且PM=DN．
（1）求證：直線MN∥平面PCD；
（2）若PD=2，M為線段PA中點(diǎn)，求三棱錐P-MNB的體積．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AN，交CD于點(diǎn)G，連結(jié)PG，推導(dǎo)出MN∥PG，由此能證明直線MN∥平面PCD．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由三棱錐P-MNB的體積V_P-MNB=V_M-PBN，能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）延長(zhǎng)AN，交CD于點(diǎn)G，連結(jié)PG，
由相似知$\frac{AN}{NG}=\frac{BN}{ND}=\frac{AM}{MP}$，
∴MN∥PG，
∵M(jìn)N?平面PCD，PG?平面PCD，
∴直線MN∥平面PCD．
解：（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（1，0，1），N（1，1，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
$\overrightarrow{PM}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PN}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），
設(shè)平面PNB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PN}=x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
點(diǎn)M到平面PBN的距離d=$\frac{|\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S_△PNB=$\frac{1}{2}{S}_{△PBD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐P-MNB的體積V_P-MNB=V_M-PBN=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△PBD}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．