Question

已知函數f（x）的定義域為D，若存在區(qū)間[a，b]⊆D，使得f（x）滿足：
（1）f（x）在[a，b]上是單調函數；
（2）f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]是函數f（x）的“理想區(qū)間”，給出下列命題：
①函數f（x）=log₃x不存在“理想區(qū)間”；
②函數f（x）=2^x存在“理想區(qū)間”；
③函數f（x）=x²-3（x≥0）不存在“理想區(qū)間”；
④函數f（x）=

8x

x2+1

（x≥0）存在“理想區(qū)間”．其中真命題的是

 

（填上所有真命題的序號）

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由條件利用新定義、函數的單調性，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．

解答： 解：①函數f（x）=log₃x遞增，且f（x）=log₃x過原點的切線斜率為

log3e

e

，∵

log3e

e

＜2，∴l(xiāng)og₃x=2x無實根，
∴不存在“理想區(qū)間”，故該命題為真；
②函數f（x）=2^x遞增，且f（x）=2^x過原點的切線斜率為

e

log2e

，
∵

e

log2e

=eln2＜2.8×0.7=1.96＜2，∴2^x=2x有兩個不等根，
故此函數存在“理想區(qū)間”，故該命題為真；
③函數f（x）=x²-3（x≥0）遞增，當x²-3=2x，即x²-2x-3=0時，求得x=3或x=1，
在x≥0上有一個根，∴此函數不存在“理想區(qū)間”，故該命題為真；
④函數f（x）=

8x

x2+1

=

8

x+ 1 x

，在[0，1）遞增，（1，+∞）遞減，而

8x

x2+1

=2x的兩根為0、

3

，
在單調區(qū)間上只有一個根，不存在“理想區(qū)間”，故該命題為假．
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查函數的單調性的應用，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．