Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距為2

5

，過M（1，1）斜率為

2

3

直線l交曲線C于A，B且M是線段AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）

• A、

  x2

  3

  -

  y2

  2

  =1
• B、

  x2

  3

  -

  3y2

  2

  =1
• C、

  x2

  3

  -2y2=1
• D、

  x2

  3

  -y2=1

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率計(jì)算公式可得

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=1，

2

3

=

y1-y2

x1-x2

．
再利用“點(diǎn)差法”即可得出．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=1，

2

3

=

y1-y2

x1-x2

．
分別代入雙曲線的方程可得：

x 2 1

a2

-

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

-

y 2 2

b2

=1，
相減可得：

(x1+x2)(x1-x2)

a2

-

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，
∴

2

a2

-

2× 2 3

b2

=0，
化為2a²=3b²．
聯(lián)立

2a2=3b2 c= 5 c2=a2+b2

，解得b²=2，a²=3．
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

-

y2

2

=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率計(jì)算公式、“點(diǎn)差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．