Question

6．已知函數(shù)$f（x）=4sinxsin（x+\frac{π}{3}）$，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（2）若對任意的x∈R都有f（x）≤f（A），b=2，c=4，點D是邊BC的中點，求$|\overrightarrow{AD}|$的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的正弦公式、輔助角公式對已知函數(shù)解析式進行變形處理，得到：f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，由此求得函數(shù)的值域；
（2）利用余弦定理和數(shù)量積的計算方法解答．

解答 解：（1）$f（x）=2{sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x+1$=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$，
當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
所以f（x）∈[0，3]；
（2）由對任意的x∈R都有f（x）≤f（A）得：$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}⇒A=\frac{π}{3}$，
由${\overrightarrow{AD}^2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{AB}^2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}^2}）$=$\frac{1}{4}（{c^2}+{b^2}+2cbcosA）$=$\frac{1}{4}（{c^2}+{b^2}+cb）=7$，
所以$|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{7}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．